Title: Suites de fonctions
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Q: Définition.
Soit \(f\) bornée sur \(I\).
\[\|f\|_\infty = [...].\]
A: \sup\limits_{x \in I}|f(x)|

Q: Définition.
On dit que \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge uniformément sur \(I\) vers \(f\) si :
- [...] ;
- [...].
A: pour tout \(n\) assez grand, \(f_n-f\) est bornée; \(\lim\limits_{n \to +\infty}\|f_n-f\|_\infty = 0\)

Q: Définition.
On dit que \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge simplement sur \(I\) vers \(f\) si :
\[[...].\]
A: \forall x \in I,\quad \lim\limits_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)

Q: Lorsqu'on dit que la norme infinie de \(f\) est le plus petit majorant des \(|f(x)|\) pour \(x \in I\), que signifie :
Être un MAJORANT ?
A: \[\forall x \in I, \quad |f(x)|\leqslant \|f\|_\infty.\]

Q: Lorsqu'on dit que la norme infinie de \(f\) est le plus petit majorant des \(|f(x)|\) pour \(x \in I\), que signifie :
Être LE PLUS PETIT majorant ?
A: \[\textrm{ Si un réel \(M\) vérifie : }\forall x \in I,\ |f(x)| \leqslant M,\textrm{ alors : } \|f\|_\infty \leqslant M.\]
Le réel \(M\) est un majorant, donc il est nécessairement plus grand que le plus petit majorant (à savoir \(\|f\|_\infty\)).

Q: Quel mode de convergence implique l'autre ?
Si \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge [...] sur \(I\) vers \(f\), alors \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge [...] sur \(I\) vers \(f\).
A: uniformément; simplement

Conservation de la continuité par passage à la limite.
Énoncer le théorème de continuité uniforme.

Q: Si \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) est une suite de fonctions [...] sur un intervalle \(I\), qui converge [...] sur \(I\) vers une fonction \(f\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
A: continues; uniformément

Q: Vrai ou faux.
Pour montrer que la limite d'une suite de fonctions continues est continue sur \(I\), il suffit de vérifier l'hypothèse de convergence sur tout segment inclus dans \(I\).
A: C'est vrai.
Cette réduction est possible pour tout énoncé portant sur la régularité de la limite (continuité, dérivabilité, classe \(\mathrm{C}^k\)).

Q: Vrai ou faux.
Pour montrer que la limite d'une suite de fonctions dérivables est dérivable sur \(I\), il suffit de vérifier l'hypothèse de convergence sur tout segment inclus dans \(I\).
A: C'est vrai.
Cette réduction est possible pour tout énoncé portant sur la régularité de la limite (continuité, dérivabilité, classe \(\mathrm{C}^k\)).

Q: Vrai ou faux.
Pour montrer que la limite d'une suite de fonctions de classe \(\mathrm{C}^k\) est de classe \(\mathrm{C}^k\) sur \(I\), il suffit de vérifier l'hypothèse de convergence sur tout segment inclus dans \(I\).
A: C'est vrai.
Cette réduction est possible pour tout énoncé portant sur la régularité de la limite (continuité, dérivabilité, classe \(\mathrm{C}^k\)).

Q: Interversion limite-intégrale (segment).
Soit \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) une suite de fonctions [...] sur \([a,b]\).
On suppose que \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge [...] vers une fonction \(f\) [...] sur \([a,b]\).
Alors :
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \int_a^b f_n = \int_a^b f.\]
A: continues par morceaux; uniformément sur \([a,b]\); continue par morceaux

Q: Interversion limite-intégrale (segment).
Énoncer le théorème d'interversion limite-intégrale sur un segment.
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \int_a^b f_n = \int_a^b\lim\limits_{n \to +\infty} f_n.\]
A: Soit \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) une suite de fonctions continues par morceaux sur \([a,b]\).
On suppose que \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers une fonction \(f\) continue par morceaux sur \([a,b]\).
Alors :
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \int_a^b f_n = \int_a^b f.\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). Pour montrer
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \int_I f_n = \int_I \lim\limits_{n \to +\infty} f_n,\]
il suffit de démontrer l'hypothèse de convergence de \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sur tout segment inclus dans \(I\).
A: C'est faux.
Cette réduction n'est possible que pour un énoncé portant sur la régularité de la limite (continuité, dérivabilité, classe \(\mathrm{C}^k\)).

Théorème de convergence dominée.
Énoncer le théorème de convergence dominée.
\[\lim\limits_{n\to +\infty}\int_I f_n(x)\mathrm{d} x = \int_I \lim\limits_{n\to +\infty}f_n(x)\mathrm{d} x.\]

Théorème de convergence dominée.
Soit \((f_n)_{n \in \mathbb{N} }\) une suite de fonctions continues par morceaux définies sur \(I\). On suppose que :
- la suite de fonctions \((f_n)_{n \in \mathbb{N} }\) converge simplement sur \(I\)  vers une fonction \(f\)  continue par morceaux sur \(I\) ;
- il existe une application \(\varphi : I \to \mathbb{R}\) continue par morceaux et intégrable sur \(I\) telle que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad |f_n|\leqslant \varphi\quad (\textrm{HYPOTHÈSE DE DOMINATION}).\]
Alors \(f\) et \(f_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) sont intégrables sur \(I\), et :
\[\lim\limits_{n\to +\infty}\int_I f_n(x)\mathrm{d} x = \int_I f(x)\mathrm{d} x.\]

Théorème de convergence dominée.
Compléter :

Interversion limite-dérivée.
Soit \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) une suite de fonctions de classe \(\mathrm{C}^1\) sur \(I\). On suppose que :
- \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge simplement sur \(I\) vers \(f\) ;
-   \(\left(f_n'\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge uniformément sur \(I\) vers \(g\).
Alors \(f\) est de classe \(\mathrm{C}^1\) sur \(I\), et : \[f'=g.\]

Classe \(\mathrm{C}^k\) d'une limite de suite de fonctions.
Soit \(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) une suite de fonctions de classe \(\mathrm{C}^k\) sur \(I\). On suppose que:
- pour tout \(j \in \{0,1,\dots,k-1\} \), la suite \(\left(f_n^{(j)}\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge simplement sur \(I\) vers une fonction \(f_j\);
- la suite \(\left(f_n^{(k)}\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge uniformément sur \(I\) vers une fonction \(f_k\);
Alors \(f_0\) est de classe \(\mathrm{C}^k\) sur \(I\), et pour tout \(j \in \{0,1,\dots,k-1\}\) on a : \(f^{(j)}=f_j\).

Q: Vrai ou faux.
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). Pour montrer
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \int_I f_n = \int_I \lim\limits_{n \to +\infty} f_n,\]
il suffit de démontrer l'hypothèse de domination du théorème de convergence dominée sur tout segment inclus dans \(I\).
A: C'est faux.
Cette réduction n'est possible que pour un énoncé portant sur la régularité de la limite (continuité, dérivabilité, classe \(\mathrm{C}^k\)).

Q: Comment démontrer que si \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers \(f\) (avec la continuité partout), alors :
\[\lim_{n\to +\infty} \int_a^b f = \int_a^b f ?\]
A: \[0\leqslant \left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \leqslant \int_a^b |f_n-f|\leqslant \int_a^b \|f_n-f\|_\infty = (b-a)\|f_n-f\|_\infty \to 0.\]

Q: Exemple classique.
Comment calculer :
\[\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^n} ?\]
A: Soit \(f_n(t) = \frac{1}{1+t^n}\) pour tout \(t \geqslant 0\) et \(n \geqslant 2\).
- Limite simple : \(\lim\limits_{n \to +\infty} f_n(t) = \left\{\begin{array}{c l} 1& \textrm{ si } t \in [0,1[ \\ \frac{1}{2}& \textrm{ si }t=1 \\ 0& \textrm{ si }t\in ]1,+\infty[ \end{array}\right.\)
- Hypothèse de domination : \(|f_n(t)| \leqslant \varphi(t)\) où :\[\varphi(t) = \left\{\begin{array}{c l} 1& \textrm{ si } t \in [0,1] \\ \cfrac{1}{1+t^2}& \textrm{ si }t\in ]1,+\infty[ \end{array}\right.\]
Le théorème de convergence dominée s'applique :
\[\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^n} = \int_0^1 1\mathrm{d }t = 1.\]

Q: Parmi ces notations, lesquelles sont correctes :
\[\|f\|_\infty,\quad \|f(x)\|_\infty, \quad \|x \mapsto f(x)\|_\infty ?\]
A: Notations correctes :
\[\|f\|_\infty,\quad \|x \mapsto f(x)\|_\infty.\]
Notation incorrecte :
\[\|f(x)\|_\infty.\]
La norme infinie a du sens pour une fonction, mais \(f(x)\) est un nombre (obtenu par évaluation de la fonction \(f\) en \(x\)).

Q: Méthode.
Comment trouver la fonction de domination pour appliquer le théorème de convergence dominée à \(\displaystyle\int_I f_n\) ?
A: Pour majorer \(|f_n(t)|\) indépendamment de \(n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(t \in I\):
- On ne touche surtout pas à ce qui ne dépend pas de \(n\).
- On majore uniquement, et au mieux, la quantité dépendant de \(n\), en cherchant quelle est la valeur maximale prise quand \(n\) parcourt \(\mathbb{N}\).
Alors ce majorant ne dépend pas de \(n\) et est égal à \(\varphi\).
- On vérifie que \(\varphi\) est intégrable sur \(I\).

Méthode pour vérifier l'hypothèse de domination du théorème de convergence dominée.
Pour majorer \(|f_n(t)|\) indépendamment de \(n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(t \in I\):
- On ne touche surtout pas à ce qui ne dépend pas de \(n\).
- On majore uniquement, et au mieux, la quantité dépendant de \(n\), en cherchant quelle est la valeur maximale prise quand \(n\) parcourt \(\mathbb{N}\).
Alors ce majorant ne dépend pas de \(n\) et est égal à \(\varphi\).
- On vérifie que \(\varphi\) est intégrable sur \(I\).

Q: Méthode.
Comment montrer en pratique que \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge uniformément vers \(f\) ?
(une fois qu'on a montré la convergence simple, et dans le cas où une étude de variations n'est pas possible)
A: On cherche \(\alpha_n\) ne dépendant pas de \(x\) et convergeant vers \(0\), tel que :
\[\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x \in I,\quad |f_n(x)-f(x)| \leqslant \alpha_n.\]
Alors par propriété de la borne supérieure :
\[\forall n \in \mathbb{N},\quad 0 \leqslant \|f_n-f\|_\infty \leqslant \alpha_n \to 0\]
et donc : \(\lim\limits_{n \to +\infty} \|f_n-f\|_\infty = 0\) (théorème des gendarmes).

Q: Méthode. Comment montrer en pratique que \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) NE converge PAS uniformément vers \(f\) ?
(dans le cas où une étude de variations n'est pas possible)
A: On cherche \(x_n\) tel que \(|f_n(x_n)-f(x_n)|\) ne tende pas vers \(0\).
De sorte, s'il y avait convergence uniforme, on aurait une contradiction en écrivant :
\[\forall n \in \mathbb{N},\quad \underbrace{\|f_n-f\|_\infty}_{\to 0} \geqslant \underbrace{|f_n(x_n)-f(x_n)|}_{\not\to 0}.\]

Méthode.
Pour montrer en pratique que \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge uniformément vers \(f\)
(une fois qu'on a montré la convergence simple, et dans le cas où une étude de variations n'est pas possible) :
- On cherche \(\alpha_n\) ne dépendant pas de \(x\) et convergeant vers \(0\), tel que :
\[\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x \in I,\quad |f_n(x)-f(x)| \leqslant \alpha_n.\]
- Alors par propriété de la borne supérieure :
\[\forall n \in \mathbb{N},\quad 0 \leqslant \|f_n-f\|_\infty \leqslant \alpha_n \to 0\]
et donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \|f_n-f\|_\infty = 0\) (théorème des gendarmes).